Notions de Cours

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Partie A : Le travail d’une force

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I Évaluer le travail d’un cheval de trait qui tire un chariot sur des rails

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Même sur une section horizontale, le cheval doit effectuer un certain travail pour vaincre les forces de frottements et sortir le chariot de la mine. Si les frottements sont nuls, la force à appliquer est nulle et le travail sera nul : Le chariot avance tout seul (=sans travail) après l’avoir lancé. En pente, il faudra nécessairement faire intervenir un travail.

On imagine qu’un contremaître doit évaluer le travail effectué par le cheval. Ce travail tiendra compte de la distance de transport effectuée.

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1° Dans la situation 1 :

Le cheval s’est mis en travers et tire le chariot perpendiculairement aux rails.

La force exercée est réelle mais le chariot ne bouge pas. Du point de vue du travail effectué pour l’entreprise, le contremaitre note un travail effectif = 0.

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2° Dans la situation 2 :

Le cheval tire le chariot parallèlement aux rails.

La force exercée est la même mais le chariot bouge. Le contremaître note un travail effectif positif. Il note même que le cheval produit un travail maximum par rapport à la force qu’il déploie.

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3° Dans la situation 3 :

Le cheval tire le chariot de biais par rapport aux rails (voir schéma)

La force exercée est la même et le chariot bouge. Le contremaître note un travail effectif positif mais il note que le travail effectué n’est pas optimal par rapport à la force qu’il déploie.

Remarque : Dans le cas d’un cheval, utilisé pour tirer une péniche en oblique depuis la berge, une partie de son énergie est perdue dans les remous occasionnés par le gouvernail qui doit redresser la trajectoire. Son travail n’est pas optimal.

Plus l’angle α (entre la force et le déplacement) est grand, plus le travail effectué est faible. Il en vient à noter que le travail peut être comptabilisé en fonction du cosinus de l’angle α car cos(α) est minimum pour α = 90° (cos 90° = 0) et maximum pour α = 0 (cos 0° = 1).

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II Calculer le travail d’une force

Le cheval cité précédemment n’était ici qu’un prétexte pour évaluer le travail. En science, la notion de travail sera associé à une force F et à un déplacement représenté par le vecteur AB . Le produit scalaire de 2 vecteurs est une opération qui fait intervenir le cosinus de l’angle α entre ces 2 vecteurs. Le produit scalaire est noté par un point entre les 2 vecteurs.

Exemple : Le du produit scalaire entre les vecteurs F et AB s’écrit : F  .  AB

et le calcul de sa valeur se fait en faisant  : || F || × || AB || × cos α

Soit plus simplement : F × AB × cos α

On résume cela ci-dessous :

Remarque : Le produit scalaire de 2 vecteurs n’est pas un vecteur mais une valeur numérique.

Remarque 2 : On pourra donc remarquer que le travail d’une force peut être négatif si la force s’oppose au sens du déplacement (= cas d’une force de frottements)

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III Le travail d’une force constante ne dépend pas du chemin suivi.

On peut décomposer le trajet en sections élémentaires (=petites sections). Pour trouver le travail total, il faut additionner les travaux élémentaires. Avec une force constante, le produit scalaire est distributif (voir maths). On peut donc écrire :

Le travail ne dépend donc pas du chemin suivit. Il ne dépend que du point de départ et du point d’arrivée.

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IV Le travail du poids sur le trajet de A vers B.

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Le poids est ici une force constante. Le travail du poids sur le trajet de A vers B se calcule donc à partir du vecteur AB . D’après l’étude précédente, ce travail ne dépend pas du trajet choisi pour aller de A à B.

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1° Vérification sur l’exemple d’un skieur.

Sur l’exemple d’un skieur (voir image ci-dessous), on pourra vérifier que, sans frottements, le poids va provoquer un mouvement d’accélération dont la vitesse finale (en B) ne dépend pas du chemin suivi pour parcourir le trajet AB. Le travail du poids est donc le même quelque soit le chemin suivi.

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2° Expression mathématique du travail du poids

Par convention : On repère les altitudes Z sur un axe vertical orienté vers le haut.

Lorsque le poids P d’un objet reste constant, le travail du poids sur le déplacement AB s’écrit donc :

W_AB(P) = P . AB (produit scalaire)

Ou W_AB(P)  = P × AB × cos α (multiplication)

Or comme il est indiqué sur la figure, on a : AB × cos α = Z_A -Z_B

Le travail du poids peut donc se retenir par définition sous la forme :

W_AB(P)  = P × (Z_A – Z_B)

Or, d’après la définition du poids : P = m × g.

L’expression précédente peut donc s’écrire sous la forme :

W_AB(P)  = m × g × (Z_A – Z_B)

• W_AB(P) : Travail du poids sur le trajet AB (en J)
• P : Poids de l’objet (en N) ou m : masse de l’objet (en kg) et g : pesanteur (en N.kg^-1)
  
• Z_A et Z_B : Altitudes des points A et B (repérées sur un axe vertical orienté vers le haut) exprimées (en m).
  

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Remarque : On évitera la notation m × g × h car h est forcement positif alors que Z_A – Z_B ne l’est pas forcement, suivant le sens du trajet (A voir selon l’exercice).

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Partie B : L’énergie cinétique et le théorème de l’énergie cinétique

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I La définition de l’énergie cinétique

1° Évolution de l’énergie en fonction de la vitesse pour une voiture.

Sur le diagramme suivant on a tracé l’énergie due à un choc sur un obstacle en fonction de la vitesse. (Pour faire le TP complet de la classe de 3^ème, cliquez sur le lien suivant : « Une animation pour calculer l’énergie cinétique ».)

On observe que l’évolution de l’énergie cinétique Ec varie suit une loi qui est fonction de la vitesse au carré.

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2° Énoncé de la relation de définition de l’énergie cinétique

Suite à l’étude précédente, on obtient la relation suivante :

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II Le théorème de l’énergie cinétique

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1° Exemple du trajet d’un train

Il s’agit ici d’un train super rapide car il se déplace dans un tunnel « sous vide ». Ce projet s’appelle « Hyperloop ».

On remarquera que les frottements étant supposés négligeables dans ce type de train, le travail du moteur sur la portion à vitesse constante est considéré comme nul.

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• Le travail du moteur du train entre O et A est positif : On parle de travail moteur dont l’expression serait : W_OA(F_{Accélération}) = F_{Accélération} . OA
• Le travail de freinage du train entre B et E est négatif : On parle de travail résistant dont l’expression serait : W_BE(F_{Décélération}) = F_{Décélération} . BE
• On peut facilement comprendre (et démontrer) qu’il faut fournir le même travail pour accélérer le train que pour le ralentir. De sorte que sur l’ensemble du trajet, le travail est nul. On écrira la somme des travaux :

∑W_OE(F) = W_OA(F_Accél) + W_BE(F_Décél) = 0

• L’énergie cinétique initiale en O est nulle (vitesse initiale nulle).
• L’énergie cinétique finale en E est nulle (vitesse finale nulle)
• Sur ce trajet on écrira la variation d’énergie cinétique : ΔEc = Ec_finale – Ec(_finitiale )

ΔEc_(O→E) = Ec(E) – Ec(O) = 0

Les égalité précédente donne le même résultat. Sur ce trajet on pourra donc écrire que :

ΔEc = Ec(E) – Ec(O) = ∑W_OE(F)

Cette relation sera généralisable à l’étude d’autres systèmes. On l’appelle le « théorème de l’énergie cinétique ».

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2° Énoncé du théorème de l’énergie cinétique

Unités :

• ∑W_OE(F) : (en J)
• ΔEc  : (en J)

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III Exemple d’application du théorème de l’énergie cinétique : La chute libre.

1. Modélisation des forces pour le système en chute libre

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La seule force agissante est le poids P du mobile qui s’applique au centre de gravité noté G.

Par définition : une chute libre se passe sans frottements.

2. Étude énergétique sur le trajet AB

• Expression du travail des forces sur le trajet entre A et B.

Le travail du poids entre A et B s’écrit :

W_AB(P) = m × g × (Z_A – Z_B)

Remarque : Le travail du poids est positif car Z_A > Z_B.

• Expression de la variation d’énergie cinétique entre A et B

Par définition, la variation d’énergie cinétique entre A et B s’écrit :

ΔEc_(A→B) = Ec(B) – Ec(A) = ½ × m × V_B² – ½ × m × V_A²

• Application du théorème de l’énergie cinétique entre A et B.

Par définition on écrit : ΔEc_(A→B) = ∑W_AB(F)

Avec les notations de l’exemple, on écrit alors :

½ × m × V_B² – ½ × m × V_A² = m × g × (Z_A – Z_B)

On pourra remarquer que la masse m peut être simplifiée dans cette équation. D’où les expressions finales :

½ × V_B² – ½ × V_A² = g × (Z_A – Z_B)       ou       V_B² –  V_A² = 2 × g × (Z_A – Z_B)

• Une résolution possible :
  

Indication : La valeur de g est connue : g = 9,81 N.kg^-1

Par exemple, si la vitesse initiale V_A = 0, on pourra calculer la vitesse en B :

On pourra alors démontrer (à savoir faire) que V_B² = 2 × g × (Z_A – Z_B)

soit que V_B = √ [2 × g × (Z_A – Z_B)]

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3c. Remarque sur les unités de g :

D’après l’équation précédente liée à la chute libre, on pourrait recalculer g :

soit g = V_B² / [2 × (Z_A – Z_B)]

L’équation aux unités donne g en m².s^-2.m^-1 soit en m.s^-2.

Dans le SI, il y a donc une équivalence entre le N.kg^-1 et le m.s^-2. Cela explique pourquoi certains exercices donnent indifféremment g = 9,81 N.kg^-1 ou g = 9,81 m.s^-2.

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IV Exemple d’application du théorème de l’énergie cinétique : Un skateur glisse sans frottement sur une rampe.

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1. Modélisation des forces

Le poids P s’applique au centre de gravité du skateur noté G.

La force de réaction R du support s’applique au point de contact avec le sol. Elle est toujours perpendiculaire au sol.

Toutes ces forces passent par G. Ce point semble indiqué pour poser la construction vectorielle pour l’étude de la première section du trajet.

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2. Travail de la force de réaction R

On notera que la réaction R du support fournit toujours un travail nul car elle est toujours perpendiculaire au déplacement.

2.1 Par définition pour une force de réaction perpendiculaire d’un support :

W_AB(R) = 0

Remarque : On peut le démontrer si demandé : Sur un trajet AB s’écrira donc : W_AB(R) = R . AB = R × AB × cos 90 = 0 (rappel cos 90° = 0)

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2.2 Remarque : Pour un skateur sur une piste semi-circulaire.

Modélisation :

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Travail de la force R :

A chaque instant, la force R reste en permanence perpendiculaire au déplacement. Le travail de cette force est donc nul et on écrira :

W_AB(R) = 0

Pour info : On se peut pas utiliser la formule précedente de la définition du travail R. AB car la force R n’est pas constante sur le trajet AB (Elle change de direction). Néanmoins, on pourra calculer son travail car le vecteur R reste à chaque instant perpendiculaire à déplacement qu’on peut qualifier d’élémentaire (=très petit). Chaque travail élementaire est donc nul et la somme de ces travaux élementaire donnera un travail total nul.

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Modélisation d’une force de frtottement éventuelle.

On fait figurer les frottements pat une force non constante mais qui restera à chaque instant tangente au déplacement.

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3. Modélisation des autres sections (sans frottement)

On décompose le trajet du skateur en 3 sections comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

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4. Étude énergétique sur la première section du trajet :

• Expression du travail effectué par les différentes forces sur le trajet entre A et B :

> Par définition, le travail du poids entre A et B s’écrit :

W_AB(P) = m × g × (Z_A – Z_B)

Remarque : Le travail du poids est moteur (> 0)

> Par définition, pour le travail de la force de réaction R on écrit :

Le travail de la force R est nul car cette force est perpendiculaire au déplacement AB. Soit W_AB(R) = 0

Rédaction alternative : W_AB(R) = R × AB × cos 90 = 0.

• Expression de la variation de l’énergie cinétique entre A et B :

> Par définition de l’énergie cinétique, on écrit :

ΔEc = Ec(B) – Ec(A) = ½ × m × V_B² – ½ × m × V_A²

• L’application du théorème de l’énergie cinétique sur ce trajet :
  

> D’après la définition du théorème de l’énergie cinétique on écrit :

ΔEc = ∑W_AB(F)

Ce qui s’écrit ici, avec les notations de l’exercice :

½ × m × V_B² – ½ × m × V_A² = m × g × (Z_A – Z_B)

Soit après simplification par m :

½ V_B² – ½ × V_A² = g × (Z_A – Z_B)     ou   V_B² – V_A² = 2 × g × (Z_A – Z_B)

• Une résolution possible :
  

Indication : La valeur de g est connue

Par exemple, si on connait la masse du skateur, sa vitesse initiale V_A et sa perte d’altitude, on pourra calculer la vitesse en bas de la pente V_B.

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5. Etudes menées sur les autres sections du trajet :

On connait maintenant V_B et d’autres variables. Cela permet de  continuer la résolution.

On peut faire la remarque que, sur la troisième section, le travail du poids sera résistant.

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V Les frottements

5.1 Modélisation d’une force de frottement constante

Le mouvement s’effectue de A vers B. Les fottements sont modélisés par une force F_frott qui s’oppose à ce mouvement. On peut la représenter donc par un vecteur parallèle au support, s’exerçant dans le sens opposé au mouvement. L’angle entre les vecteurs AB et F_frott vaut donc 180°.

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5.2 Expression du travail d’une force de frottement constante

Rappel : cos 180 = -1

Le travail des forces de frottements sur le déplacement AB s’écrira donc :

W_AB(F_frott) = F_frott . AB = F_frott × AB × cos 180 = – F_Frott × AB

Remarque : Ce travail est donc bien négatif (= travail résistant).

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: Savoir maîtriser

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1° Comment convertir des km.h^-1 en m.s^-1 ?

Plus d’info : Revoir des exercices du chapitre « La vitesse » de la classe de 3ieme pour voir des exercices.

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2° Que signifie le panneau routier « Route à 10 % d’inclinaison » ?

Le dénivelé h est donc égale à 10% de la distance parcourue par la voiture.

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 Exercices possibles

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Sauf indication contraire, pour tous les exercices, on donne g = 9,81 (SI).

La conception d’un schéma est souvent profitable.

Un signe (*) indique qu’une indication est apportée ci-après.

Exercices d’application directe p 292 et suivantes : Ex 16 – Ex 19 – Ex 21(*corrigé vidéo) – Entrainez-vous, leurs corrigés sont déjà accessibles dans la partie « Corrigés des exercices » au bas de cette page.

Exercices d’approfondissement – p 291 et suivantes : n° 20(*) – n° 23(**) — n° 33(***) –  n° 35(****) –

(*)Indication pour n°20 : On négligera les forces de frottements de la carrosserie sur l’air

(**)Schéma d’accompagenement pour l’ex 23 : Voir ci-dessous.

(***)Indication pour n° 33 : On considérera que g = 9,81 (SI) sur l’ensemble du trajet.

(****)Indication pour n°35 : On se reportera à l’annexe (ci-dessous sur cette page) pour comprendre comment utiliser une pente indiquée en %.

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Exercices de type « problème » identique à l’exercice résolu – p 294 et suivantes n° 28(*) – n° 30.

(*)Question complémentaire pour ex 28 : Exprimer et calculer le travail W(P)_AB du poids entre A et B. Ce travail est-il moteur ou résistant ?

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 Bilan

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Cliquer sur le lien suivant pour accéder à « L’essentiel du chapitre »

Cliquer sur le lien suivant pour accéder à une Synthèse des activités du chapitre.

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 Corrigés des exercices

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Cliquez sur les liens suivants pour accéder à leurs corrigés.

Corrigés des exercices d’application directes :

Lien pour accéder à la « Rédaction de l’exercice 16 »

Lien pour accéder à la « Rédaction de l’exercice 19 »

Lien pour accéder au « Corrigé vidéo de l’exercice 21 » ou à la « Rédaction de l’exercice 21 »

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Indication : Les liens suivants ne sont actifs que lorsque le chapitre ou une partie de chapitre est terminé.

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