1ère Spé – Chapitre 17 : Ondes mécaniques périodiques

 Notions de Cours

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I La double périodicité d’une onde périodique

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1° La périodicité temporelle ou  » période » (notée T)

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1.1° Définition de la période :

Énoncé alternatif : « La période est le plus petit intervalle de temps entre 2 points dans le même état vibratoire. »

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1.2° Exemple de signal périodique

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1.3° Mesure :

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Elle se mesure typiquement avec un chronomètre. On peut aussi utiliser un ordinateur ou un oscilloscope (voir un exemple ci-dessous)

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2° La périodicité spatiale ou  » longueur d’onde » (notée λ)

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2.1° Un canard pour visualiser la longueur d’onde

Cliquez sur l’image suivante suivant pour accéder à l’animation

Si vous ne parvenez pas à accéder à l’animation, vous pouvez utiliser le lien vers la vidéo correspondante : « La double périodicité vue par un canard« 

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2.2° Définition de la longueur d’onde en français :

Énoncé alternatif : « La longueur d’onde est la plus petite distance entre 2 points dans le même état vibratoire. »

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2.3° Définition à partir de la période T :

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La longueur d’onde λ correspond donc à la distance parcourue par une onde pendant 1 période T soit mathématiquement :

λ = v × T

avec :

  • v : célérité de propagation de l’onde (en m.s-1)
  • T : période du signal (en s)
  • λ : Longueur d’onde du signal (en m)

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3° La fréquence du signal (notée f)

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3.1° Définition de la fréquence en français.

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Énoncé : « La fréquence est le nombre d’oscillations périodiques d’un signal par seconde. »

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3.2° Définition mathématique :

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f = 1 / T

avec :

  • T : période du signal (en s)
  • f : fréquence du signal (en Hz)

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4° Définition alternative pour λ

 

La formule λ = v × T est mathématiquement équivalente à :

λ = v / f

Cette relation constitue donc une définition alternative pour la longueur d’onde

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5° Le cours en vidéo

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Vous pourrez vous reporter à l’ANNEXE en bas de cette page où vous trouverez une vidéo qui vous aidera à vous familiariser avec ces définitions.

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II Les ondes sinusoïdales

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1° La fonction mathématique associée à une onde en déplacement.

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1.1° L’expression mathématique correspondant à une onde

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1.2° Exemple de tracé mathématique de cette fonction mathématique à partir de la fonction cosinus.

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Tracé du 1er point du graphe : On calcule la valeur à l’origine en remplaçant t par sa valeur t=0 dans l’équation. On obtient : 

u(t=0) = 200 cos{(2π/4) × 0 } = 200 × cos 0 = 200

Rappel : cos 0 = 1

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1.3° Remarque :

On aurait pu utiliser la fonction sinus pour décrire la même onde. On écrirait dans ce cas : u(t) = 200 sin{(2π/4) × t + π/2}

On obtient bien le même résultat pour t = 0s

Rappel : sin π/2 = 1

On verra que ce choix ne change rien, la phase φ sera juste différente pour obtenir le même tracé (voir « Point Maths en fin de page ci-dessous).

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2° Points en phase ou en opposition de phase

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2.1° Définition pour 2 points en phase :

2.1.1 Énoncé :

« 2 points d’un signal vibrent en phase lorsqu’ils suivent le même mouvement à chaque instant. »

Exemple : Sur la corde, les points M1 et M3 vibrent en phase.

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2.1.2° Condition mathématique associée à 2 points en phase :

Des points qui vibrent en phase sont séparés d’un nombre entier de longueur d’onde. On notera qu’ils sont séparés d’une distance d telle que :

d = k × λ                 (avec k : entier)

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2.2° Définition pour 2 points en opposition de phase

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2.2.1° Énoncé :

« 2 points d’un signal vibrent en opposition de phase lorsque leurs amplitudes sont opposées à chaque instant. »

Exemple : Sur la corde précédente, les points M1 et M2 vibrent en opposition de phase.

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2.2.2° Condition mathématique associée à 2 points en opposition de phase :

Des points qui vibrent en opposition de phase sont séparés d’un nombre impair de demi longueur d’onde. On notera qu’ils sont séparés d’une distance d telle que :

d= (2k+1) × λ/2                (avec k : entier)

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2.3° Élongation pour des points qui vibrent en phase

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On observe une synchronisation des élongations.

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3° Mesure de λ par coïncidences successives d’un même état vibratoire.

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3.1° Mesures sur une animation :

Cliquez sur l’image suivante pour accéder à l’animation et agir vous-même sur les mesures sur l’animation.

Décalez le micro 2 vers la droite, et arrêtez-vous à la 2eme coïncidence (en comptant la coïncidence de départ). On observera alors l’image suivante :

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Un lien vers un fichier vidéo non interactif est disponible si vous utilisez un MAC : « Mesure de la vitesse du son par déphasage« 

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3.2° Valeurs mesurées et exploitation

A la 2eme coïncidence, on s’est décalé de 2 intervalles on a donc d = 2 × λ

On mesure d = 68 cm, ce qui permet de calculer λ = 68 / 2 = 34 cm.

On peut alors en déduire la vitesse du son car v = λ / T

Remarquez que l’amplitude du signal 2 est plus petite que celle du signal 1.

Faites l’expérience à 500 Hz, 1000 Hz(voir ci-dessus), 1500 Hz et 2000 Hz.

Combien de fois se répète la coïncidence ? Faites des mesures de T et d. En déduire λ et v.

On retiendra : « On obtient des coïncidences pour  d = k × λ (avec k entier). On dit que les points espacés d’une distance d vibrent en phase. »

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Entrainez-vous (voir exercice résolu n° 28 – p 359).

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Sinus et cosinus

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1° Cosinus et sinus sur le cercle

On remarque que la valeur de cos α est reportée sur l’axe horizontal et que la valeur de sin α est reportée sur l’axe vertical.

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2° Le tracé mathématique de la fonction f(t) = sinus(t)

On peut tracer s(t) = sin(t) sur un logiciel grapheur (ou sur la calculatrice). On obtiendra le tracé ci-dessous :

Cliquez sur l’image ci-dessus pour interagir vous-même avec l’animation « GéoGébra ».

On remarquera que conformément à nos connaissances : sinus (0) = 0

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3° Le tracé mathématique de la fonction f(t) = cosinus(t)

On peut tracer s(t) = cos(t) sur un logiciel grapheur (ou sur la calculatrice). On obtiendra le tracé ci-dessous :

Cliquez sur l’image ci-dessus pour interagir vous-même avec l’animation « GéoGébra ».

On remarquera que conformément à nos connaissances : cos (0) = 1

Comparaison de 2 tracés : On décrit la même onde sinusoïdale en décalant l’origine de π/2.

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4° La phase à l’origine noté φ

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Les fonction sin(t) et cos(t) produise le même tracé mais on observe un décalage de 2π/4 (= π/2)

Pour des ondes de période T, on a donc un décalage de T/4

cos(t) = sin(t + φ) avec j = T/4                           φ est donc un décalage de phase

Ce résultat apparait graphiquement si on superpose les 2 courbes (voir ci-dessous)

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Conclusion : On décrit indifférent une onde avec les fonctions sin ou cos dès lors qu’on introduit une phase à l’origine φ.

 

5° Notation mathématique d’une onde en physique

Pour décrire mathématiquement une onde sinusoïdale, on choisira d’utiliser la fonction en cosinus suivante :

Cette phase φ est nécessaire car certains signaux commencent avec une amplitude « zéro » alors que d’autres commencent avec une amplitude max. La valeur de φ permet donc d’accorder la fonction mathématique avec les conditions initiales. C’est pour cette raison que φ est appelée « phase à l’origine »

s(t) = A cos{(2π/T) × t + φ}

  • Si l’onde démarre à t = 0 avec une élongation maximum (= A), on aura φ = 0.
  • Si l’onde démarre à t = 0 avec une élongation nulle, on aura φ = π/2.

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6° Exemple (voir ex 21 – p 357) :

Avec A = 200 (SI), T = 4 s et φ = 0°, on pourra décrire mathématiquement une onde par la fonction :

u(t) = 200 × cos(2π/4)t

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: Longueur d’onde

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1° La double périodicité d’une onde

Visionner la vidéo suivante qui montre un canard sur une vague et qui explique la double périodicité temporelle et spatiale d’une onde ainsi que les formules de définition.

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2° La visualisation d’une onde sur un liquide

La vidéo suivantes vous permet de visualiser des vagues crées sur une cuve à ondes

Cliquez sur l’image pour accéder à la vidéo. Arrêtez la vidéo à un instant t.

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 Exercices et activités possibles

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1° Les activités proposées

Un signe (*)  ou (#) indique qu’une indication ou un rectificatif est apportée ci-après.

Activité 1 : Corde de musculation

Une vidéo de présentation est disponible sur YouTube en cliquant sur le lien suivant :  » Musculation en salle « 

Une animation permet de faire cette activité. Vous pourrez l’utiliser en cliquant sur l’image suivante :

Indication : Si vous ne parvenez pas à faire fonctionner l’animation, une capture d’écran est disponible en téléchargement en utilisant le lien « Fichier d’aide – Onde sur une corde« 

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Activité 2 : Son émis par un diapason

Une vidéo permet de faire cette activité. Vous pourrez l’utiliser en cliquant sur l’image suivante :

Une vidéo de présentation est également disponible sur youtube en cliquant sur le lien suivant :  » Son émis par un diapason « 

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2° Les exercices

Indication pour tous les exercices : Sauf précision contraire, la célérité du son dans l’air est de 340 m.s-1 dans les conditions usuelles de température et de pression.

  • Exercices d’application directe p 355 et suivantes : n° 15 – n° 19 et n°22

Entrainez-vous, leurs corrigés sont déjà accessibles dans la partie « Corrigés des exercices » au bas de cette page.

  • Exercices d’approfondissement p 355 et suivantes : n° 21 – 32 – 33 – 36(*)

*Ex36-Indication : Le point source n’est pas séparé du même intervalle que les autres franges brillantes. Il ne peut donc pas être considéré comme une ride complète.

  • Exercices identiques aux ex résolus : n°27(*) p 358 et n°29(*) p 359

*Ex27-Indication : On utilisera la valeur T = 8,00 s. Pour le 2°, on choisira pourra choisir de faire une représentation spatiale.

*Ex29-Indication : On résoudra l’exercice suivant le modèle indiqué dans l’exercice résolu :

  • Pour le 1°, on exploitera la 26ème coïncidence obtenue lorsque d = 4 × 12,8 et d’ = 4 × 29,9.
  • Pour le 2°, on pourra utiliser la valeur de la fréquence car il est indiquée qu’elle reste inchangée.

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 Bilan

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Cliquer sur le lien suivant pour accéder à « L’essentiel du chapitre – à compléter »

Cliquer sur le lien suivant pour accéder à une Synthèse des activités du chapitre.

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 Corrigés des exercices et des activités

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Cliquez sur les liens suivants pour accéder à leurs corrigés.

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Corrigés des exercices d’application directes :

Lien pour accéder à la « Rédaction de l’exercice 15 »

Lien pour accéder à la « Rédaction de l’exercice 19 »

Lien pour accéder à la « Rédaction de l’exercice 22 »

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Indication : Les liens suivants ne sont actifs que lorsque le chapitre, ou une partie de chapitre, est terminé.

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Corrigés des activités :

Lien pour accéder aux réponses de « Activité 1 »

Lien pour accéder aux réponses de « Activité 2 »

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Corrigés des exercices d’approfondissement

Lien pour accéder au « corrigé de l’ex 21 »

Lien pour accéder au « corrigé de l’ex 32 »

Lien pour accéder au « corrigé de l’ex 33 »

Lien pour accéder au « corrigé de l’ex 36 »

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Corrigés des exercices identiques aux exercices résolus :

Cliquer sur le lien suivant pour accéder au « Corrigé de l’exercice 27 – identique à l’ex résolu ».

Cliquer sur le lien suivant pour accéder au « Corrigé de l’exercice 29 – identique à l’ex résolu ».

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