1° Ens Scientif – Chap 12 : La musique ou l’art de faire entendre des nombres

Partie I : Cours et illustrations de cours

Introduction : Les études précédentes montrent que la fréquence d’une note produite dépend de la longueur de la corde (cf chapître 11). Dans l’antiquité on a ainsi remarqué que certaines longueurs de cordes produisaient un son qui s’accordait bien avec d’autres. On peut faire la même remarque avec des tuyaux de longueurs différentes (flute de pan) ou des morceaux de bois (xylophone). On a donc cherché à savoir quelles étaient les notes qui pouvaient être jouées ensembles.

I Quelques notions de musique

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1° Les 12 notes du piano

Elles dont séparées d’un demi-ton. Entre le « Do » et le « Do# » il y a un intervalle d’1/2 ton.

La gamme de « Do » va d’un « Do » à un autre. Cet intervalle est répétitif. On l’appelle une octave.

Conséquence : Entre le « Do et le « Ré », il y a 2 demi-tons, soit un intervalle de 1 ton.

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2° Les notes à la guitare

Comme pour le piano, le son est produit par la vibration d’une corde tendue.

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2.1 Plusieurs cordes à sa guitare

Sur une guitare on peut modifier la fréquence fondamentale des cordes en modifiant leurs tensions. On obtient ainsi un accordage particulier. Dans la suite, nous allons nous intéresser aux notes qu’on peut obtenir sur une seule et même corde.

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2.2 Des notes différentes sur une seule corde

La fréquence d’une note produite dépend de la longueur de la corde (cf chapître 11). On place donc un doigt ou un objet sur la corde pour réduire la longueur de la partie vibrante de la corde.

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II L’octave, un intervalle de référence.

1° Des vibrations qui produisent un ensemble agréable à l’oreille

Sur une guitare, en appuyant sur la corde tendue avec son doigt (symbolisé par le triangle en bleu sur le schéma), on réduit la longueur vibrante donc on produit une note plus haute (plus aigüe).

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Ces 2 notes, jouées ensemble, produisent un ensemble agréable (harmonique). Dans l’antiquité, cet intervalle fut nommé « Octave ». On passe ainsi par exemple du do(1) au do(2).

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2° Le rapport de fréquence entre 2 notes séparées d’une octave.

Lorsque la longueur d’une corde vibrante est divisée par 2, la fréquence est multipliée par 2 (cf Chap11). On en déduit qu’une octave sera définie par un rapport de fréquence égal à 2. On écrira par exemple : fDo(2) / fDo(1) = 2

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3° La longueur des touches à l’octave sur un xylophone

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De même, sur un xylophone (ou ici un métallophone) la longueur de la plaque métallique qui vibre en divisée par 2 lorsqu’on franchit un intervalle correspondant à une octave.On remarque que ce rapport est répétitif.

4° La longueur des touches à l’octave sur une flûte de Pan

On peut faire la même remarque pour les longueurs des tuyaux dans une flute de Pan.

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III La quinte, un intervalle plus riche

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1° Le rapport des longueurs

Dès l’antiquité on a remarqué que 2 cordes tendues dont les longueurs étaient dans un rapport = 3 / 2 sonnaient agréablement à l’oreille.

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2° Qu’est-ce qu’une quinte ?

Ce type d’accord fut plus tard appelé une « quinte » car elles correspondent à l’intervalle entre 1ere et la 5eme note blanche sur le piano. Exemple : Un « Do » et le « Sol » plus aigu suivant.

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3° Le rapport des fréquences pour une quinte

Une quinte est donc définie par un rapport de fréquence égal à 3 / 2. On écrira par exemple : fSol(3) / fDo(3) = 3 / 2.

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De même, sur un xylophone (ou ici un métallophone) la longueur de la plaque métallique qui vibre en divisée par 3/2 (ou multipliée par 2/3) lorsqu’on franchit un intervalle correspondant à une quinte.

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IV Et la quarte ?

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1° Le rapport des longueurs

Cet intervalle est aussi connu depuis l’antiquité. On a remarqué que 2 cordes tendues dont les longueurs étaient dans un rapport = 3 / 4 sonnaient agréablement à l’oreille. Le rapport entre nombres entier donnait une validité à la construction de la gamme. La gamme obtenue s’appelle la « gamme de Pythagore »

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2° Qu’est-ce qu’une quarte ?

Elle correspond à un espacement entre 1ere et la 4eme note sur le piano. Exemple : Un « Do » et le « Fa » plus aigu suivant.

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3° Le rapport des fréquences pour une quarte

Une quarte est donc définie par un rapport de fréquence égal à 4 / 3. On écrira par exemple : fFa(3) / fDo(3) = 4 / 3.

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V Un problème de justesse qui apparaît progressivement dans la gamme de Pythagore.

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1° Le cycle des octaves

L’intervalle de l’octave va d’un « Do » à l’autre (12 demi-tons). On peut donc répéter cet intervalle 7 fois.

On fait figurer par une flèche (en gris) le rapport de fréquence qui permet de passer d’une note à l’autre.

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On obtient la fréquence du Do10 en faisant : f(Do10) = f(Do3) × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = f(Do10) × 27

Application numérique : f(Do3) = 261,6 Hz

f(Do10) = 261,6 x 27 = 33484,8

On obtient f(Do10) = 33484,8 Hz par le cycle des octaves.

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2° Le cycle des quintes ascendantes

L’intervalle de la quinte correspond à 7 demi-tons. On peut donc répéter cet intervalle 12 fois en remontant le clavier pour retomber sur un Do. Le nom des notes obtenues est indiqué ci-dessous.

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On fait figurer par une flèche (en rouge) le rapport de fréquence qui permet de passer d’une note à l’autre.

Application numérique : f(Do3) = 261,6 Hz

f(Do10) = 261,6 x (3/2)12 = 33484,8

On obtient f(Do10) = 33484,8 Hz par le cycle des quintes.

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3° Non concordance des 2 calculs

Le Do(10) n’a pas exactement la même fréquence selon qu’on le calcul par les octaves ou par le cycle des quintes.

Les quintes et les octaves calculées selon Pythagore ne sont pas exactement compatibles.

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VI Calcul des fréquences de chaque note ramenée sur la même octave selon la gamme de Pythagore.

1° La méthode de calcul visualisée sur un clavier

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On passe du Do(1) au sol suivant (1ere quinte ascendante) en faisant f1 = f0 × 3/2. On arrive ainsi au Sol(1)

Pour passer à la note suivante, on cherche la quinte suivante en faisant f1 × 3/2. On arrive ainsi au Ré(2)

Or ce Ré appartient à l’octave suivante. Pour revenir dans l’octave de départ, on divise la fréquence par 2 : f2 = f1 × 3/2 × 1/2. On retourne ainsi au Ré(1)

On passe à la note suivante par une quinte : f3 = f2 × 3/2. On arrive ainsi au La(1)

Pour passer à la note suivante, on cherche la quinte suivante en faisant f3 × 3/2. On arrive ainsi au Mi(2)

Or ce Mi appartient à l’octave suivante. Pour revenir dans l’octave de départ, on divise la fréquence par 2 : f4 = f3 × 3/2 × 1/2. On retourne ainsi au Mi(1).

On pourra ensuite trouver les notes suivantes par quintes successives : Mi à Si à Fa# (- 1 octave) à Do#(- 1 octave) etc…

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2° La méthode de calcul des fréquence de la gamme de Pythagore en image :

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3° Application numérique : Calcul des fréquences des notes de la gamme de Pythagore :

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VII Un découpage égal de l’octave : La gamme tempérée

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On a vu que les quintes et les octaves de la gamme de Pythagore n’étaient pas exactement compatibles entre eux. Pour résoudre ce problème, des musiciens ont alors cherché une gamme avec des intervalles égaux. Ce sera la gamme tempérée.

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1° Un rapport de fréquence égal pour toutes les notes

On a construit la gamme tempérée sur le principe d’une répartition égale des intervalles c’est-à-dire un rapport constant entre les 12 demi-tons successifs. Ainsi tous les intervalles seront compatibles entre eux.

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2° Calcul du rapport « t½ » entre 2 demi-tons successifs.

Pour calculer la valeur numérique de ce rapport, notons « t½ » le rapport de fréquence entre 2 demi-tons successifs.

On écrit la cascade de demi-tons successifs par une suite de rapports :

Application numérique : t½ ≈ 1,059

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3°Application à la flûte de Pan

Sur une flute de Pan, la longueur des tuyaux obéira à la même loi mathématique :

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4° La méthode de calcul des fréquences de la gamme tempérée en images

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5° Application numérique : Le calcul des fréquences des notes de la gamme tempérée

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